更新时间：2024-08-01 17:44
黎曼空间是一种矢量空间，它满足空间中存在度规张量，使临近两点的距离由正定二次型决定。
若在n维矢量空间中有度规张量 ，使得空间邻近两点 和 之间的距离由正定二次型决定，则称该矢量空间为黎曼空间。二次型 为黎曼空间的线元， 为黎曼空间的度规张量。定义曲线弧长的微分为
而任一条曲线 的弧长为
在黎曼空间中，关于标量、矢量和张量的定义类似于仿射空间，其运算法则也相仿。对于两个矢量a和b的逆变的标量积定义为
两个矢量的长度(模)分别为
两个矢量的夹角余弦为
这表明：在笛卡尔直角坐标系中，度规张量分量与空间点位无关。采用球坐标系，令 ，则空间邻近两点的距离平方公式为
因而，相应的度规张量为
可见，在三维欧氏空间中，若选用球坐标系(曲线坐标系)，则度规张量是点位坐标的函数，随点的位置变换而变化。
在闵柯夫斯基空间中，采用坐标系的一维时间坐标和三维空间坐标，建立四维时空关系。取坐标为 ，则有不变距离公式为
式中，c为光速，坐标分量采用长度量纲，则有度规张量为
式中， 表示四维闵柯夫斯基度规。
在黎曼空间中，若通过选取适当的坐标系，使度规张量具有
的基本形式。则称此空间为平坦的黎曼空间。